• ?? RoPE为苏剑林大佬之作，最早应用于他自研的RoFormer (Rotary Transformer)，属于相对位置编码。效果优于绝对位置编码和经典式相对位置编码。出自论文：《RoFormer: Enhanced Transformer with Rotary Position Embedding》

• ?? 据我了解，最近发布的大语言模型：Meta的LLaMA、清华的ChatGLM都采用了RoPE。这也足以证明了RoPE的优势。

• ?? 本文讲解下个人对RoPE原理的理解以及自己用torch复现了一下，更详细地请参阅苏神的原文（文末已附上链接）。

• ?? 如对RoPE公式推导有任何疑问，可评论区或私信反馈，我将做出详细解答。

文章目录

• 1、RoPE 动机
• • 1.1、绝对位置编码
  • 1.2、相对位置编码
  • 1.3、RoPE
• 2、RoPE 原理
• • 2.1、将待解问题公式化（提出假设）
  • 2.2、推导求解
  • 2.3、RoPE的编码形式
• 3、RoPE 代码实现（torch版）
• Reference

1、RoPE 动机

1.1、绝对位置编码

• 最原始的正余弦位置编码（即sinusoidal位置编码）是一种绝对位置编码，但从其原理中的正余弦的和差化积公式来看，引入的其实也是相对位置编码。

• 绝对位置编码的讲解可看我的博客：随记·手撕coding | absolute positional embedding

• 优势： 实现简单，可预先计算好，不用参与训练，速度快。

• 劣势： 没有外推性，即如果预训练最大长度为512的话，那么最多就只能处理长度为512的句子，再长就处理不了了。当然，也可以将超过512的位置向量随机初始化，然后继续微调。

1.2、相对位置编码

• 经典相对位置编码RPR式的讲解可看我的博客：相对位置编码之RPR式：《Self-Attention with Relative Position Representations》论文笔记 【在k, v中注入相对位置信息】
• 优势： 直接地体现了相对位置信号，效果更好。具有外推性，处理长文本能力更强。

1.3、RoPE

• RoPE通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码，综合了绝对位置编码和相对位置编码的优点。
• 主要就是对attention中的q, k向量注入了绝对位置信息，然后用更新的q,k向量做attention中的内积就会引入相对位置信息了。

2、RoPE 原理

? 那rope是怎么在q,k中注入这种相对位置信息的呢？我看了苏神的推导。大概是这样的：先假设q,k是二维的情形，因为复数可用二维向量表示，所以借助复数域来求解。在推导的过程中，用的最多的一句话就是：“为简单起见，假设xxx” 这对推导十分关键。

• 有关复数相关基础知识可看这：数学 | 复数的代数、向量、矩阵、极坐标、指数形式 | 复数相乘的物理意义【旋转+缩放】

2.1、将待解问题公式化（提出假设）

首先，假设新的qk向量（即假设已注入绝对位置信息）的内积会引入相对位置信息。并在最后假设合理的初始化条件：

2.2、推导求解

不是一般性，考虑其q,k向量为二维的情形，借助复数域推导出为q,k向量编码绝对位置信息的函数 f 。

别看公式多，理解起来并不难。下面我细说一下其中几个关键的推导步骤：

• 式(8) 的推导：
  

2.3、RoPE的编码形式

上面我们设了q,k的绝对位置编码函数为：

然后又求出了：
而：

那带入(4)式就可以得出q,k的绝对位置编码函数了（下面以q为例，k同理）

为避免这个正交矩阵过于稀疏，浪费算力，代码实现时都是依据下面公式来计算RoPE：

注：苏神在θ的选择上沿用了tansformer的θ_i = 10000^-2i/d 。因为苏神实验发现，在RoPE中采用这个θ也可以带来一定的远程衰减性（意思就是token之间的依赖关系会随着距离的变远而衰减，这也符合我们的直观理解）。当然别的θ也可，只要满足远程衰减。

3、RoPE 代码实现（torch版）

• 代码实现基于torch，代码中也写好详细注释。如有错误，评论区或私信我反馈，谢谢~

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import math

# %%

def sinusoidal_position_embedding(batch_size, nums_head, max_len, output_dim, device):
    # (max_len, 1)
    position = torch.arange(0, max_len, dtype=torch.float).unsqueeze(-1)
    # (output_dim//2)
    ids = torch.arange(0, output_dim // 2, dtype=torch.float)  # 即公式里的i, i的范围是 [0,d/2]
    theta = torch.pow(10000, -2 * ids / output_dim)

    # (max_len, output_dim//2)
    embeddings = position * theta  # 即公式里的：pos / (10000^(2i/d))

    # (max_len, output_dim//2, 2)
    embeddings = torch.stack([torch.sin(embeddings), torch.cos(embeddings)], dim=-1)

    # (bs, head, max_len, output_dim//2, 2)
    embeddings = embeddings.repeat((batch_size, nums_head, *([1] * len(embeddings.shape))))  # 在bs维度重复，其他维度都是1不重复

    # (bs, head, max_len, output_dim)
    # reshape后就是：偶数sin, 奇数cos了
    embeddings = torch.reshape(embeddings, (batch_size, nums_head, max_len, output_dim))
    embeddings = embeddings.to(device)
    return embeddings


# %%

def RoPE(q, k):
    # q,k: (bs, head, max_len, output_dim)
    batch_size = q.shape[0]
    nums_head = q.shape[1]
    max_len = q.shape[2]
    output_dim = q.shape[-1]

    # (bs, head, max_len, output_dim)
    pos_emb = sinusoidal_position_embedding(batch_size, nums_head, max_len, output_dim, q.device)


    # cos_pos,sin_pos: (bs, head, max_len, output_dim)
    # 看rope公式可知，相邻cos，sin之间是相同的，所以复制一遍。如(1,2,3)变成(1,1,2,2,3,3)
    cos_pos = pos_emb[...,  1::2].repeat_interleave(2, dim=-1)  # 将奇数列信息抽取出来也就是cos 拿出来并复制
    sin_pos = pos_emb[..., ::2].repeat_interleave(2, dim=-1)  # 将偶数列信息抽取出来也就是sin 拿出来并复制

    # q,k: (bs, head, max_len, output_dim)
    q2 = torch.stack([-q[..., 1::2], q[..., ::2]], dim=-1)
    q2 = q2.reshape(q.shape)  # reshape后就是正负交替了



    # 更新qw, *对应位置相乘
    q = q * cos_pos + q2 * sin_pos

    k2 = torch.stack([-k[..., 1::2], k[..., ::2]], dim=-1)
    k2 = k2.reshape(k.shape)
    # 更新kw, *对应位置相乘
    k = k * cos_pos + k2 * sin_pos

    return q, k


# %%

def attention(q, k, v, mask=None, dropout=None, use_RoPE=True):
    # q.shape: (bs, head, seq_len, dk)
    # k.shape: (bs, head, seq_len, dk)
    # v.shape: (bs, head, seq_len, dk)

    if use_RoPE:
        q, k = RoPE(q, k)

    d_k = k.size()[-1]

    att_logits = torch.matmul(q, k.transpose(-2, -1))  # (bs, head, seq_len, seq_len)
    att_logits /= math.sqrt(d_k)

    if mask is not None:
        att_scores = att_logits.masked_fill(mask == 0, -1e-9)  # mask掉为0的部分，设为负无穷大

    att_scores = F.softmax(att_logits, dim=-1)  # (bs, head, seq_len, seq_len)

    if dropout is not None:
        att_scores = dropout(att_scores)

    # (bs, head, seq_len, seq_len) * (bs, head, seq_len, dk) = (bs, head, seq_len, dk)
    return torch.matmul(att_scores, v), att_scores


if __name__ == '__main__':
    # (bs, head, seq_len, dk)
    q = torch.randn((8, 12, 10, 32))
    k = torch.randn((8, 12, 10, 32))
    v = torch.randn((8, 12, 10, 32))

    res, att_scores = attention(q, k, v, mask=None, dropout=None, use_RoPE=True)


    # (bs, head, seq_len, dk),  (bs, head, seq_len, seq_len)
    print(res.shape, att_scores.shape)

?
?
?
?
?
?

Reference

• Transformer升级之路：2、博采众长的旋转式位置编码
• 《RoFormer: Enhanced Transformer with Rotary Position Embedding》
• RoPE详细推导版
• Transformer升级之路：6、旋转位置编码的完备性分析
• 让研究人员绞尽脑汁的Transformer位置编码
• Transformer升级之路：4、二维位置的旋转式位置编码