1.2.1 数字信号处理部分知识重温(1) 从DFT(离散傅里叶变换)到FFT（快速傅里叶变换）（1）

写在前面：本文不作为一篇严谨的理论推导文章，仅为博主学习时的随手小记，个人的主观认知为主，以求日后能在较快时间内理清思路，找到当下的学习状态。文章中会尽量避免出现过多公式及推导，如果能有幸给其他朋友带来一些帮助，不甚荣幸。

感谢以下文章及老师的指导：

【数字信号处理(北京交通大学陈后金)】 2.1 离散傅里叶变换（DFT） - 4 DFT性质2_哔哩哔哩_bilibili

彻底搞懂--离散傅里叶变换和频谱分析 - 游标卡尺不估读的文章 - 知乎

（文中第一第二部分的讲解最为易懂，可以先看第二部分，再看第一部分）

彻底搞懂--离散傅里叶变换和频谱分析 - 知乎

一、DFT的引入

我们知道：一段线段(比如0-1)，在长度上是有限长的，但是这段线段由无限的点组成的（1，9.9,，9.99，9.999...）。这是一个曾困扰博主的误区。

接着，DFT这一理论诞生的应用场景是在计算机的计算时，我们知道，计算机的数值计算，只能接受离散的数值分量，也就是说，计算机进行计算的信号，时域取值必须都是离散的，频域取值也必须是离散的。

我们各类信号的计算公式如下（先不纠结各个公式如何导出，先使用结论，日后再深究）：

连续角频率和数字角频率都是连续量，（2π/N）*mk是离散量。（N，m，k均只取整数）
连续周期信号与连续非周期信号因为是在时域上连续，首先就被排除了被计算机接纳的可能，离散非周期信号在频域上有连续量Ω，因此也淘汰出局。能被计算机接纳的仅有离散周期信号
前三种信号如果想被计算机利用，只需变换为第四种类型的信号即可

注：在实际应用中，离散化的实现借助于采样，周期化的实现借助于周期延拓，因此，我们直接认为：离散化=采样；周期化=周期延拓

也就是说为了能够得到一个时域与频域均离散取值的信号，我们首先实现在时域离散化（采样），接着为实现频域离散化，我们利用频域抽样定理，对采样后的离散时间信号进行周期延拓，如下图所示：（也可以从频域先开始离散化）

注：虽然离散周期信号在时域和频域上都有无数个点，但这些点都会按照一个有限周期内的点/序列进行相同的延拓得到的。因此，我们只需要知道一个周期序列的完整取值，无限“复用”即可。

而离散周期信号的向频域的变换，称之为离散傅里叶变换（DFT），由此正式引出DFT！

二、DFT的正式展开

首先介绍DFT的具体定义式：

注1：在DFT的表达式中，有两个变量：m，k，它们都是在（0，N-1）区间（也就是完整的序列长度/周期）取值的变量。M位于频域，k位于时域。从表达式我们发现，m在频域每取一个值，k都会在时域上从0到N-1取N个值与之对应。

为了书写方便，我们引入了这样一个符号：

注1：为了记忆再简便一点，个人这么认为：w---e^-2πj，W右边符号直接上下对应分子分母，写成分数mk/N，乘到w的指数上去

注2：这个符号是一个复数！（仅当（2π/N）*mk=π的整数倍时取整数），在频域上绕单位圆运动（见下图）

(以N=4举例)

注3：WN^mk=WN^（mk%N）

我们以一道题对上面DFT的定义式进行举例：

根据WN^mk=WN^（mk%N）可化简：

由上我们可以观察到：

1.要进行m个点序列的DFT，要进行m^2次(复数)乘法运算；

2.在（未化简版的）矩阵X[0]（m=0）对应的一行，从左到右每个元素相隔为0，之后以此类推。由此可总结：X[m]对应频域的W上标从左到右间隔m

我们进一步的拓展：

首先我们知道：两种序列在时域上的图像是相同的

注：上图是两种序列的DTFT（离散时间傅里叶变换--对应离散非周期时间序列，频域连续，时域离散）

注：上图是两种序列DFT（时域需要在原来的基础上周期延拓）的表达式

可见：在DTFT的频域中，两序列频域相同，在对时域上两个序列周期延拓后进行DFT，补零后的序列在频域上的离散序列原数值不变，在原数值之间均匀的插入新数值，以图为例：

（原因是WN^mk=e^-2πj*(mk/N)在频域的单位圆上运动，经过的点为m*（2π/N）；单位圆上一个周期（0->2π）经过（采样到）的点数=N=实际信号频域离散序列的长度=实际信号时域离散序列的长度，对序列时域补零，则序列长度N增大，在频域单位圆经过（采样到）的点数自然也会增加）

总之，通过对时域进行补零，可以得到更高的频域离散化（采样）精度

三、DFT的一些重要性质

①线性特性

②循环位移特性（头尾相连，循环移位）

举例：（离散非周期）原序列{01234}（假设0元素位于坐标轴原点上）

---->周期延拓成离散周期序列：..01234{01234}01234.... （头尾相连）

---->向左位移2单位：..012340{123401}234.... （循环移位）

①可以理解为括号向相反方向移动若干单位 ②可以理解为从左（右）边移除的元素，会从另一边递补进来

注意：以上讨论的是在位移以后，原序列位置处各点新的取值情况，x坐标轴并未发生改变！！

③对称特性

这是一个极其重要的特性，首先：1.一个数与另一个数如果是共轭关系，那么他们实部相同，虚部取反。也就会说，我们知道了某点数值的共轭，等同于知道了该点的数值。

又因为该性质：X*[(N-m)n]=X[m],也就是说，我们具备了知晓一个点的数值，就能得到另一个点的（共轭）数值的途径。下面是一道示例：

④循环卷积定理

该性质=循环位移性质+翻转的组合技，依旧先举例：

（离散非周期）原序列{01234}（假设0元素位于坐标轴原点上）

---->对原序列进行翻转：4321{00000}（在原点处的元素翻转后位置不变）

---->对翻转后的序列进行周期延拓成为离散周期序列：..04321{04321}04321.... （头尾相连）

---->向左位移2单位：..0432104{32104}321.... （循环移位）（x点循环卷积=序列分x次向右移动一个单位，将每一次移动后的结果逐行写到矩阵）

注：1.参与循环移位运算的两个序列必须等长（长度=循环卷积点数），否则需要补零！并且要先进行补零，在按照上述步骤进行翻转、循环位移等操作。

2.注意区别线性卷积和循环卷积：下图是线性卷积的示例图：

存在这样一个规律：当循环卷积点数L=（序列1长度+序列2长度）-1，L点循环卷积与线性卷积可以得到相同的结果。因此，我们要计算线性卷积，可以通过求解L点循环卷积得到，循环卷积又可以通过DFT（两个序列在频域相应的离散序列相乘）取到。

3.循环卷积的频域：

再一次说明，将两序列使用DFT，将他们在频域对应的离散序列逐点相乘，再用IDFT还原，得到的结果等同于两序列在时域循环卷积，也等同于两序列在时域做线性卷积（前提是L要符合要求，且两个序列需要通过补零达到长度L）

4.循环卷积的具体应用：

在实际计算机运算DFT来计算（循环）线性卷积时，采用的是FFT算法（计算效率：L/2*(log2L)），通过实际应用我们发现，当参与运算的两个序列长度（其中一个长度a，另一个b）相当时，效率（3*L/2*(log2L)+L--两个原序列FFT,再逐点相乘（L），再将L点的新序列IFFT）较线性卷积直接运算（a*b）提速最为明显，且随着序列的数量级增大而增大。

但是如果两序列长度差距过大，那么，计算效率提速很低甚至不如直接线性卷积计算。