概念

SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm）是一种解决单源最短路径问题的算法，用邻接表或邻接矩阵来存储图，主要用于处理带有负权边的图。其基本思路是通过动态逼近法对图进行松弛操作，不断更新结点的最短路径估计值，直至收敛到最优解。

思路与理解

1. 初始化： 将所有结点的最短路径估计值初始化为无穷大，然后将起始结点的最短路径估计值设为0。将起始结点放入队列中。

2. 动态逼近法： 通过不断从队列中取出结点进行松弛操作，更新结点的最短路径估计值。具体步骤如下：

   • 从队列中取出一个结点u。
   • 遍历u的所有邻接结点v，对v进行松弛操作，即通过u更新v的最短路径估计值。
   • 如果v的最短路径估计值有所调整，且v不在当前队列中，则将v放入队尾。

3. 判断负环： 在执行过程中，检测是否存在负环。两种方法：

   • 在算法开始前，通过拓扑排序判断图是否有环，一般不采用，因为可能浪费时间。
   • 统计每个结点进入队列的次数，如果某个结点的入队次数超过图的顶点数N，则存在负环。

4. 终止条件： 当队列为空时，算法终止。

例子

一个简单的图示例，其中有5个结点（城市）：A、B、C、D、E。边上的数字表示两城市间的距离

A --2--> B
|       /
1     3 
| /     
C --4--> D
      
  5   
    
    E

假设我们从城市A开始，初始化距离数组为无穷大，将A的最短路径估计值设为0。然后将A加入队列

第一轮

• 从队列中取出A。
• 更新B和C的最短路径估计值。
• 将B和C加入队列

  A(0)
  |
  2  
  |         1
  B(2) -- C(1)
  |     
  3  
  |    
  D(∞) 
  |   
  4  
  | 
  E(∞)

第二轮

• 从队列中取出B
• 更新D的最短路径估计值
• 将D加入队列

  A(0)
  |
2 |     1
  B(2) -- C(1)
  |  
  3  
  |   
  D(∞) 
  |   
  4  
  | 
  E(∞)

第三轮

• 从队列中取出C
• 更新D的最短路径估计值
• 将D加入队列

  A(0)
  |
  2 
  |          1
  B(2) -- C(1)
  |      
  3  
  |    
  D(5) 
  |   
  4  
  | 
  E(∞)

第四轮

• 从队列中取出D
• 更新E的最短路径估计值
• 将E加入队列

  A(0)
  |
2 |     1
  B(2) -- C(1)
  |      
  3  
  |    
  D(5) 
  |  
  4  
  | 
  E(9)

第五轮

• 从队列中取出E
• 没有相邻结点，结束

具体应用

spfa求最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 impossible。

数据范围
1≤n,m≤105
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：

3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4

输出样例：

2

代码与思路

1. 通过add方法建立邻接表，表示图中的有向边信息。
2. 使用SPFA算法求解单源最短路径。算法维护一个队列，不断松弛每个结点的邻接边，直到没有可以松弛的边为止。
3. 最终得到起点到终点的最短路径长度，如果为0x3f3f3f3f，表示不可达，输出"impossible"；否则输出最短路径长度

import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int n, m, idx, N = 100010;
    static int[] ne = new int[N], e = new int[N], w = new int[N], h = new int[N], dis = new int[N];
    static boolean[] state = new boolean[N];

    // 添加一条有向边，起点是a，终点是b，权重是c
    public static void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = h[a];
        w[idx] = c;
        h[a] = idx ++;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        Arrays.fill(h, -1);

        // 读取图的边信息，建立邻接表
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int x = in.nextInt();
            int y = in.nextInt();
            int z = in.nextInt();
            add(x, y, z);
        }

        // 使用SPFA算法求解单源最短路径
        int t = spfa();

        // 输出结果
        if (t == 0x3f3f3f3f) {
            System.out.println("impossible");
        } else {
            System.out.println(dis[n]);
        }
    }

    // SPFA算法，返回从起点到终点的最短路径长度
    private static int spfa() {
        Arrays.fill(dis, 0x3f3f3f3f);
        dis[1] = 0;

        Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
        q.offer(1);
        state[1] = true;

        while (!q.isEmpty()) {
            int t = q.poll();
            state[t] = false;

            // 遍历t的所有邻接点
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];

                // 如果通过t到达j的路径更短，则更新最短路径估计值
                if (dis[j] > dis[t] + w[i]) {
                    dis[j] = dis[t] + w[i];

                    // 如果j不在队列中，将j加入队列
                    if (!state[j]) {
                        q.offer(j);
                        state[j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return dis[n];
    }
}

spfa判断负环

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤n≤2000
1≤m≤10000
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：

3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4

输出样例：

Yes

代码与思路

import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int n, m, idx, N = 100010;
    static int[] ne = new int[N], e = new int[N], w = new int[N],
            h = new int[N], dis = new int[N], cnt = new int[N];
    static boolean[] state = new boolean[N];

    // 添加一条有向边，起点是a，终点是b，权重是c
    public static void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = h[a];
        w[idx] = c;
        h[a] = idx++;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        Arrays.fill(h, -1);

        // 读取图的边信息，建立邻接表
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int x = in.nextInt();
            int y = in.nextInt();
            int z = in.nextInt();
            add(x, y, z);
        }

        // 判断图中是否存在负环
        if (!spfa()) {
            System.out.println("No");
        } else {
            System.out.println("Yes");
        }
    }

    // SPFA算法，判断图中是否存在负环
    private static boolean spfa() {
        Queue<Integer> q = new LinkedList<>();

        // 初始化队列，将所有点加入队列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            state[i] = true;
            q.offer(i);
        }

        // 遍历队列
        while (!q.isEmpty()) {
            int t = q.poll();
            state[t] = false;

            // 遍历t的所有邻接点
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];

                // 如果通过t到达j的路径更短，则更新最短路径估计值
                if (dis[j] > dis[t] + w[i]) {
                    dis[j] = dis[t] + w[i];
                    cnt[j] = cnt[t] + 1;

                    // 如果j不在队列中，将j加入队列
                    if (cnt[j] >= n) return true;
                    if (!state[j]) {
                        state[j] = true;
                        q.offer(j);
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
}