在学习具体的数据结构和算法之前，每一位初学者都要掌握一个技能，即善于运用时间复杂度和空间复杂度来衡量一个算法的运行效率。所谓算法，即解决问题的方法。同一个问题，使用不同的算法，虽然得到的结果相同，但耗费的时间和资源肯定有所差异。这也就意味着，如果解决问题的算法有多种，我们就需要从中选出最好的那一个。那么，怎么判断哪个算法更好（或者更优）呢？在满足准确性和健壮性的基础上，还有一个重要的筛选条件，即通过算法所编写出的程序的运行效率。程序的运行效率具体可以从 2 个方面衡量，分别为：程序的运行时间和程序运送所需的内存空间大小。本篇博客详细总结如何计算一个算法的时间复杂度和空间复杂度，根据代码的编写形式分为：非递归式(循环)和递归代码的时间复杂度，空间复杂度计算，根据出题的形式又可分为：给定代码计算时间复杂度和空间复杂度，或者给定题目请设计算法同时给出时间复杂度和空间复杂度；后者作为笔试面试的重点考查方式，需要重点掌握！
一、算法复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外内存空间。根据算法编写出的程序，运行时间更短，运行期间占用的内存更少，该算法的运行效率就更高，算法也就更好。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
二、复杂度在校招中的考察
三、时间复杂度
3.1 时间复杂度的概念，如何理解？
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。记作:T(n)=O(f(n))，其中f(n)是问题规模n的某个函数。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。O(语句总的执行次数)，即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
理解概念的两个关键点：
1. 用计算语句总的执行次数，来度量时间的；
2. 把握好问题的规模这个概念，抓住问题规模；
3.2 推导大O阶方法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到平均情况：N/2次找到在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。
总结：O(执行次数) ----> O(阶次/数量级)
举个栗子：
实现getsum函数求和1+2+3+...+n
int getsum(int n)
{
int result=0； 执行1次
for(int i=1;i<=n;i++) 执行次数为：1+n+n
{
result+=i; 执行次数为：n
}
return result; 执行1次
}
分析：
问题规模体现在形参n上，当n不同，计算求和的项数就不同，计算总的执行次数为f(n)=1+1+n+n+n+1=3n+3; 经过化简可知：O(n) ，可以总结出：像定义变量、循环初始条件、循环判断条件、循环自增变量等这些都不会影响最终的结果(当n较大时)，在计算总的执行次数时可以不计算它们！只需要看循环内部语句总的执行次数。
3.3 常见的时间复杂度
3.3.1 常数阶
#include <stdio.h>
int main()
{
int res=0,n=100; 执行1次
res=(1+n)*n/2; 执行1次
printf("%d",res); 执行1次
return 0; 执行1次
}
分析：这个算法的运行次数函数是f(n)=4。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项 4改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)
#include <stdio.h>
int main()
{
int res=0,n=100; 执行1次
res=(1+n)*n/2; 执行第1次
res=(1+n)*n/2; 执行第2次
res=(1+n)*n/2; 执行第3次
res=(1+n)*n/2; 执行第4次
res=(1+n)*n/2; 执行第5次
res=(1+n)*n/2; 执行第6次
res=(1+n)*n/2; 执行第7次
res=(1+n)*n/2; 执行第8次
res=(1+n)*n/2; 执行第9次
res=(1+n)*n/2; 执行第10次
printf("%d",res); 执行1次
return 0; 执行1次
}
事实上无论n为多少，上面的两段代码就是4次和13次执行的差异。这种与问题的大小无关(n的多少)，即没有问题规模，执行时间恒定的算法，我们称之为具有 0(1)的时间复杂度，又叫常数阶。O(K)=O(1)
对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着 n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构 (不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是0(1)。
3.3.2 线性阶
线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。(关键是要分析O(1)语句执行的总次数)。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
示例一：
#include <stdio.h>
int main()
{
int i=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}
return 0;
}
上面这段代码，它的循环的时间复杂度为 O(n)，因为循环体中的代码须要执行 n次。
总结：对于单层for循环，循环条件与问题规模n有关，时间复杂度一般都是O(n)
3.3.3 对数阶
实例1：
#include<stdio.h>
int main()
{
int count=1;
while (count <n)
{
count *=2;
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
return 0;
}
实例2：
#include<stdio.h>
int main()
{
int num;
while (num!=0)
{
num/=2;
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
return 0;
}
示例1：
由于每次 count 乘以2之后，就距离n 更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于 n，则会退出循环。由2^x=n 得到 x=log2n(x也代表次数)。所以这个循环的时间复杂度为0(logn)。
实例2：
由于每次num除以2之后，就距离0 更近了一分。也就是说，有多少个2相除后等于0，则会退出循环。由n/2^x=1 ,得到 x=log2n(x也代表次数)。所以这个循环的时间复杂度为0(logn)。
3.3.4 平方阶
实例1：
#include<stdio.h>
int main()
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
return 0;
}
实例2：
#include<stdio.h>
int main()
{
int i,j;
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
return 0;
}
实例3：
#include<stdio.h>
int main()
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<=i;j++)
{
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
return 0;
}
实例1：
是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为 O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
实例2：
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mxn)。
实例3：
由于当i=0，内层循环执行1次，当i=1，内层循环执行2次，当i=2，内层循环执行3次......当i=n-1，内层循环执行n次，因此总的执行次数为：1+2+3+4+...+n即等差数列求和问题：(1+n)*n/2=n/2+n^2=O(n^2)
总结：总结：对于双层for循环，内外循环条件与问题规模n有关，时间复杂度一般都是O(n^2)
四、空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。 注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
空间复杂度计算的是与问题规模有关的额外开辟的内存空间！！！比如：临时定义的变量与问题规模无关不能算进去。
五、常用的时间复杂度
六、经典题目（非递归和递归代码比较）
6.1 计算1+2+3...+n的和
1.非递归方式
int getsum(int n)
{
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
res+=i;
}
return res;
}
2.递归方式
int getsum(int n)
{
if(n==1)
{
return 1;
}
else
{
return getsum(n-1)+n;
}
}
分析：非递归方式：问题规模体现在形参上n
时间复杂度：单层for循环，语句执行次数为n，所以时间复杂度为：O(n)
空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)
注：临时变量res和i都与问题规模无关，无论求和项数是多少，都只开这两个O(2)-----O(1)
递归总结分析：
重点：递归就是函数自己调用自己，发生函数调用就会发生函数栈帧的开辟，每进行一次函数调用就会在内存上开辟一块内存，且需要注意，只有当函数调用完毕（函数语句执行完毕，得到确切的值，返回给被调函数，这块内存才会被释放！！！）
递归的时间复杂度：函数的调用次数
递归的空间复杂度：递归的深度（二叉树的深度）
分析：递归方式：问题规模体现在形参上n
在这个问题上，函数调用次数与递归深度都相同，都与问题规模有关，因此，时间复杂度和空间复杂度都是O(n)
6.2 斐波那契数列（递归与非递归实现）-重点理解
1.非递归的方式
int Fib(int n)
{
int a = 1;
int b = 1;
int c = 1;
while(n>=3)
{
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
2.递归的方式
int Fib(int n)
{
if(n<=2)
return 1;
else
return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
分析：非递归方式：问题规模体现在形参上n
时间复杂度：单层while循环，语句执行次数为n-3+1=n-2，所以时间复杂度为：O(n)
空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)
分析：递归方式：问题规模体现在形参上n
递归的时间复杂度：计算函数的调用总的次数
递归的空间复杂度：递归的深度（二叉树的深度）
注意：每一层的递归调用都会在栈上分配一块内存，有多少层递归调用就分配多少块相似的内存，所有内存加起来就是开辟的总的内存大小，同层占用一块内存！！
6.3 二分查找算法（递归与非递归实现）-重点理解
1.非递归方式
int binarysearch(int* arr, int len, int val)
{
assert(arr != NULL && len > 0); //参数检验
int left = 0, right = len - 1;
while (left <= right) //查找的条件
{
int midindex = (left + right) / 2;
//面试进行优化，利用位运算更偏底层运行速度更快。
//优化一：midindex = (left + right) >> 1;
// 提示：若: 数据量很大 [0,200] left=150,right = 160; -> 310， 有可能超出范围如何解决？ 算术运算符操作的数据范围只能在基本数据类型的范围之内
//优化二：midindex = ((right - left)>>1) + left;
if (arr[midindex] == val)
{
return midindex;
}
else if (arr[midindex] < val)
{
left = midindex + 1;
}
else
{
right = midindex - 1;
}
}
return -1;
}
2.递归方式
int binarysearch0(int* arr, int len, int value, int left, int right)
{
if (left > right)
return -1;
int midindex = (left + right) / 2;
if (arr[midindex] == value)
{
return midindex;
}
else if (arr[midindex] > value)
{
return binarysearch0(arr, len, value, left, midindex - 1);
}
else
{
return binarysearch0(arr, len, value, midindex + 1, right);
}
}
int binarysearch(int* arr, int len, int value)
{
assert(arr != NULL);
return binarysearch0(arr, len, value, 0, len - 1);
}
分析：非递归方式：问题规模体现在形参上len，数组长度不同，问题规模就不同
时间复杂度：每次查找查找区间减半，所以减了多少次，代表语句执行的总次数，logn
空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)
分析：递归方式：问题规模体现在形参上查找的区间上，封装成函数。
时间复杂度：每次查找查找区间减半，所以减了多少次，代表语句执行的总次数，logn
空间复杂度：没有与问题规模相关额外开辟的内存 ，空间复杂度为O(1)
七、给定题目设计算法，同时给出时间复杂度和空间复杂度（未知代码）
这种题型求解思路如下：
时间复杂度：访问问题规模中的元素总个数
空间复杂度：与问题规模相关额外开辟的内存空间，没有额外开辟跟问题规模相关的内存O(1)
以上便是我为大家带来的算法效率分析的内容，若有不足，望各位大佬在评论区指出，谢谢大家！可以留下你们点赞、收藏和关注，这是对我极大的鼓励，我也会更加努力创作更优质的作品。再次感谢大家！