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【动态规划】【数学】【C++算法】18赛车
本文涉及知识点
差分数组 图论 分类讨论 整除以2
LeetCode100213按距离统计房屋对数目
给你三个 正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的 房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的 最少 街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的 最少 街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以 相等 。
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3
输出：[6,0,0]
解释：让我们检视每个房屋对
- 对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。
- 对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。
- 对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。
- 对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。
- 对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。
- 对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
示例 2：
输入：n = 5, x = 2, y = 4
输出：[10,8,2,0,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。
- 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。
- 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。
- 对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
示例 3：
输入：n = 4, x = 1, y = 1
输出：[6,4,2,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。
- 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。
- 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。
- 对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。
分类讨论
x,y从1开始，x–,y–让其从0开始。如果x> y，交换x和y。
如果xy，直接处理：{(n-1)*2,(n-2)2…}
题目要计算的是：除了起点和终点外，经过的房屋数。
起点i和终点j相同，不统计。
起点和终点互换，需要统计。可以只统计起点<终点，最后将结果2。
整个路径可以四个节点i,x,y,j表示。
一，各节点最多出现1次，否则有环，将环删除。
二，i,j 必定出现1次，x和y要么都出现1次，要么不出现。
三，第一个节点必定是i,最后一个节点必定是j。
理论上有六种可能，实际上只有五种：
一，i
→
ightarrow
→ j。
二，i
→
ightarrow
→ x
→
ightarrow
→ y
→
ightarrow
→ j。
三，i
→
ightarrow
→ y
→
ightarrow
→ x
→
ightarrow
→ j。这中可能不存在：
{
到
y
之前已经到达终点
,
j
<
=
y
y
→
x
→
y
这段路程是多走的
j
>
y
egin{cases} 到y之前已经到达终点, & j <= y \ y
ightarrow x
ightarrow y这段路程是多走的 & j > y \ end{cases}
{到y之前已经到达终点,y→x→y这段路程是多走的?j<=yj>y?
四, x == i,y == i 结果是0。 x
→
ightarrow
→ y
五，xi,y不等于j。 x
→
ightarrow
→ y
→
ightarrow
→ j
六，x!=i,y等于j。 i
→
ightarrow
→ x
→
ightarrow
→ y
第一种可能经过的房屋数（不包括起点终点）：j-i-1
第二种情况，x==y，无需做特殊处理，会被淘汰。x < y时。
abs(x-i)+ abs(j-y)
→
ightarrow
→ abs(x-i)+abx(j-y)
{
i
?
x
+
j
?
y
i
>
x
,
j
>
y
一
i
?
x
i
>
x
,
j
=
=
y
二
i
?
x
+
y
?
j
x
>
i
,
j
<
y
三
x
?
i
+
j
?
y
i
<
x
,
j
>
y
四
x
?
i
i
<
x
,
j
=
=
y
五
x
?
i
+
y
?
j
i
<
x
,
j
<
y
六
j
?
y
i
=
=
x
,
j
>
y
七
0
i
=
=
x
,
j
=
=
y
八
y
?
j
i
=
=
x
,
j
<
y
九
egin{cases} i-x + j- y & i > x ,j>y &一\ i-x & i > x, j == y &二\ i-x +y-j & x > i ,j < y &三\ x-i + j- y & i < x,j > y &四\ x-i & i < x,j == y & 五\ x-i+y-j & i < x,j < y& 六\ j - y & i == x ,j > y &七 \ 0 & i== x ,j == y & 八\ y - j & i==x,j < y & 九 \ end{cases}
?
一，二，七，八 可以合并，合并后 i >=x j >= y 。 四五可以合并，i < x ,j >=y 三九也可以合并。合并i >=x ,j<y
{
i
?
x
+
j
?
y
i
>
=
x
,
j
>
=
y
一
i
?
x
+
y
?
j
x
>
=
i
,
j
<
y
三
x
?
i
+
j
?
y
i
<
x
,
j
>
=
y
四
x
?
i
+
y
?
j
i
<
x
,
j
<
y
六
egin{cases} i-x + j- y & i >= x ,j>=y &一\ i-x +y-j & x >= i ,j < y &三\ x-i + j- y & i < x, j >= y &四\ x-i+y-j & i < x,j < y& 六\ end{cases}
?
我们枚举i，计算j，故x,y,i可以看做常数，可以求出相等的临界值的j。
情况二一：
i-x + j- y <= j - i -1
→
ightarrow
→ 2i -x - y <= -1
→
ightarrow
→ 2i <= x+y-1
→
ightarrow
→
{
i
→
x
→
y
→
j
2
?
i
<
=
x
+
y
?
1
i
→
j
e
l
s
e
egin{cases} i
ightarrow x
ightarrow y
ightarrow j & 2*i <= x+y-1\ i
ightarrow j & else end{cases}
{i→x→y→ji→j?2?i<=x+y?1else?
和j无关
情况二三：
i-x +y-j <= j - i -1
→
ightarrow
→ 2*(i-j) -x + y <= -1
→
ightarrow
→ -2j <= x - y - 2i -1注意除以-1，大于会变小于。
→
ightarrow
→ 2j >= y-x+2i+1
→
ightarrow
→ j >= (y-x)/2 + i +1
{
i
→
x
→
y
→
j
j
>
=
(
y
?
x
)
/
2
+
i
+
1
i
→
j
e
l
s
e
egin{cases} i
ightarrow x
ightarrow y
ightarrow j & j >= (y-x)/2 + i +1 \ i
ightarrow j & else end{cases}
{i→x→y→ji→j?j>=(y?x)/2+i+1else?
情况二四：
要想通过x,y 必须 x-i + j- y <= j - i -1
→
ightarrow
→ x-y <= -1
→
ightarrow
→ x <y，恒成立。
情况二六：
要想通过x,y，必须 x-i+y-j <= j - i -1
→
ightarrow
→ x+y-2j <= -1
→
ightarrow
→ -2j <= -x-y-1 注意除以-1，大于会变小于。
→
ightarrow
→ 2j >= x+y+1
→
ightarrow
→ j>=(x+y+1+1)/2
{
i
→
x
→
y
→
j
>
=
(
x
+
y
+
1
+
1
)
/
2
i
→
j
e
l
s
e
egin{cases} i
ightarrow x
ightarrow y
ightarrow & j>=(x+y+1+1)/2 \ i
ightarrow j & else end{cases}
{i→x→y→i→j?j>=(x+y+1+1)/2else?
y >= 0 整除2的逆运算
2x >= y ，如果y是偶数 等效与 x >= y/2 。如果y是奇数，等效与 x >= (y+1)/2 。两者可以统一为: x >=(y+1)/2 。
2x > y 如果y是偶数 等效与 x > y/2 。如果y是奇数，等效与 x > y/2。两者统一为x > y/2。
2x <= y 可以统一为 x <=y/2。
2x < y 可以统一为：x < ( y+1)/2
代码
核心代码
class Solution {
public:
vector<long long> countOfPairs(int n, int x, int y) {
vector<long long> vRet(n);
if (x == y)
{
vRet.clear();
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
vRet.emplace_back(i * 2);
}
return vRet;
}
if (x > y )
{
swap(x, y);
}
x--;
y--;
int i = 0;
#define Path1(j) (j - i -1 )
auto Path2 = [&i,&x,&y]( const int j)
{
return abs(i - x) + abs(j - y);
};
vector<long long> vDiff(n);
auto Add = [&](int left, int len)
{
if (len <= 0)
{
return;
}
vDiff[left] += 2 ;
vDiff[left+len] -= 2 ;
};
for (; i < x; i++)
{
//j 在[y,n)
const int iy = max(i + 1, y);
if (n - iy > 0)
{
Add(Path2(iy), n - iy);
}
//j在(i,y)
if( y - i -1 > 0 )
{//i->x->y-j [j0,y)
const int j0 = (x + y + 2) / 2;
Add(Path2(y-1), y - j0);
//(i,j0)
Add(0, j0 - i - 1);
}
}
for (; i < n; i++)
{
//j在(max(y-1,i),n)
if (2*i <= x + y-1)
{//i->x->y-j
Add(Path2(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);
}
else
{
Add(Path1(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);
}
//j在(i,y)
if (y - i - 1 > 0)
{
int j0 = min(y,(2 * i + y - x + 2) / 2);
j0 = max(j0, i + 1);
//if (y - j0 >= 0)
{
//j在[j0,y) i->x->y-j
Add(Path2(y - 1), y - j0);
//j在(i,j0)
Add(0, j0 - i - 1);
}
}
}
long long cur=0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cur += vDiff[i];
vRet[i] = cur;
}
return vRet;
}
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
int n, x, y;
{
Solution sln;
n = 6, x = 1, y = 5;
auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
Assert(res, vector<long long>{ 12, 14, 4, 0, 0, 0 });
}
{
Solution sln;
n = 3, x = 2, y = 2;
auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
Assert(res, vector<long long>{4, 2, 0});
}
{
Solution sln;
n = 4, x = 1, y = 1;
auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
Assert(res, vector<long long>{6, 4, 2, 0});
}
{
Solution sln;
n = 5, x = 2, y = 4;
auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
Assert(res, vector<long long>{10, 8, 2, 0, 0});
}
{
Solution sln;
n = 3, x = 1, y = 3;
auto res = sln.countOfPairs(n,x,y);
Assert(res, vector<long long>{6, 0, 0});
}
{
Solution sln;
n = 2, x = 2, y = 2;
auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
Assert(res, vector<long long>{2, 0});
}
}
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
