1 论文简介
《A new method for gray-level picture thresholding using the entropy of the histogram》是由 Kapur 于 1985 年发表在 COMPUIER VISION, GRAPHICS AND IMAGE PROCESSING 上的论文。该论文首次提出利用最大熵原理计算图像分割阈值，即选取阈值使得图像分割出来的部分的一阶灰度统计的信息量最大（一维熵最大）。以下称 Kapur 熵阈值法（Kapur Entropy Thresholding，KET）。
2 算法原理
假设原始图像的最大灰度级为
L
L
L，第
i
i
i 级的像素数用
n
i
n_i
ni? 表示，那么原始图像的总像素数
N
N
N 计算如下：
N
=
n
1
+
n
2
+
.
.
.
+
n
i
+
.
.
.
+
n
L
(1)
{N=n_1+n_2+...+n_i+...+n_L} ag{1}
N=n1?+n2?+...+ni?+...+nL?(1)归一化直方图
p
i
p_i
pi? 表示如下：
p
i
=
n
i
/
N
,
p
i
≥
0
,
∑
i
=
1
L
p
i
=
1
(2)
{p_i=n_i/N},{quad quad} p_i geq 0,{sum_{i=1}^Lp_i=1} ag{2}
pi?=ni?/N,pi?≥0,i=1∑L?pi?=1(2)现假设通过
t
t
t 级阈值将直方图分为
A
A
A 和
B
B
B 两类（目标和背景），则
A
A
A 和
B
B
B 的概率分布为：
A
:
p
1
P
A
,
p
2
P
A
,
.
.
.
,
p
t
P
A
,
P
A
=
∑
i
=
1
t
p
i
(3)
A: frac{p_1}{P_A},frac{p_2}{P_A},...,frac{p_t}{P_A},{P_A=sum_{i=1}^tp_i} ag{3}
A:PA?p1??,PA?p2??,...,PA?pt??,PA?=i=1∑t?pi?(3)
B
:
p
t
+
1
P
B
,
p
t
+
2
P
B
,
.
.
.
,
p
L
P
B
,
P
B
=
∑
i
=
t
+
1
L
p
i
(4)
B: frac{p_t+1}{P_B},frac{p_t+2}{P_B},...,frac{p_L}{P_B},{P_B=sum_{i=t+1}^Lp_i} ag{4}
B:PB?pt?+1?,PB?pt?+2?,...,PB?pL??,PB?=i=t+1∑L?pi?(4)故
A
A
A 和
B
B
B 两类的熵计算如下：
H
(
A
)
=
?
∑
i
=
1
t
p
i
p
A
l
n
p
i
p
A
(5)
{Hleft({A}
ight)}=-sum_{i=1}^t{frac{p_i}{p_A}ln{frac{p_i}{p_A}}} ag{5}
H(A)=?i=1∑t?pA?pi??lnpA?pi??(5)
H
(
B
)
=
?
∑
i
=
t
+
1
L
p
i
p
B
l
n
p
i
p
B
(6)
{Hleft({B}
ight)}=-sum_{i=t+1}^L{frac{p_i}{p_B}ln{frac{p_i}{p_B}}} ag{6}
H(B)=?i=t+1∑L?pB?pi??lnpB?pi??(6)图像最大熵函数定义如下：
ψ
(
t
)
=
H
(
A
)
+
H
(
B
)
(7)
psi(t)=H(A)+H(B) ag{7}
ψ(t)=H(A)+H(B)(7)图像最佳阈值
t
?
t^*
t? 计算如下：
ψ
(
t
?
)
=
max
?
1
≤
t
<
L
ψ
(
t
)
(8)
psi(t^*)={max_{1{leq}t<L}}psi(t) ag{8}
ψ(t?)=1≤t<Lmax?ψ(t)(8)值得注意的是，该方法与 Otsu 法 类似，非常容易拓展至多阈值的情形。
3 实验结果
4 参考文献
[1] Kapur J N, Sahoo P K, Wong A K C. A new method for gray-level picture thresholding using the entropy of the histogram[J]. Computer vision, graphics, and image processing, 1985, 29(3): 273-285.
5 代码链接
代码链接：https://mbd.pub/o/bread/ZZqUmZ1y。